Cálculo del número Pi por un método MonteCarlo#

Si lanzamos un par de números aleatorios, \(x\) y \(y\), cuya densidad de probabilidad es uniforme en el segmento del plano XY definido por \([0,1)x[0,1)\). ¿Cúal será la probabilidad de que este punto \((x,y)\) se encuentre a una distancia menor o igual que \(1\) del punto \((0,0)\)? ¿Qué número irracional encontraremos como el cuadruple de dicha probabilidad?

Tarea#

Dada una secuencia de \(N\) pares de números aleatorios (\(x\),\(y\)) donde \(0<=x<1\) y \(0<=y<1\), calcula la probabilidad que tuvo cualquiera de sus puntos (\(x\),\(y\)) de encontrarse a una distancia menor o igual que \(1\). Esa probabilidad será el número de puntos \(q\) que cumplen esa condición dividido \(N\):

(1)#\[\begin{equation} P= \frac{q}{N} \end{equation}\]

Veamos como generar con Numpy por ejemplo 100 puntos (\(x\),\(y\)) en el espacio bidimensional definido por \([0,1)x[0,1)\):

import numpy as np

puntos = np.random.rand(100,2)

¿Podrías representar gráficamente con ayuda de la librería MatPlotLib estos puntos en el espacio? ¿Sabrías representar en color rojo los puntos que se encuentran a una distancia menor que 1 del punto (0,0) y en azul el resto?

### ES TU TURNO
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### Resuelve aquí la propuesta anterior
### en una o varias celdas

Habrás visto que los puntos rojos se encuentran en una zona de área igual a un cuarto de un círculo de radio 1. Podrás entonces calcular la probabilidad teórica de que un punto cumpla la condición de estar a una distancia menor o igual que 1 del punto (0,0) como el área del cuarto de círculo de radio 1 dividido por el área del cuadrado de lado 1:

(2)#\[\begin{equation} P= \frac{\pi}{4} \end{equation}\]

De esta manera podemos calcular \(\pi\) de la probabilidad de que un punto aleatorio se encuentre a una distancia menor o igual que 1 de (0,0):

(3)#\[\begin{equation} \pi= 4\cdot \frac{q}{N} \end{equation}\]

¿Qué valor de \(\pi\) obtienes con 100 números aleatorios?

### ES TU TURNO
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### Resuelve aquí la propuesta anterior
### en una o varias celdas

Por último, representa gráficamente el valor que obtienes de \(\pi\) frente a \(N\) cuando \(N\) toma valores entre 1 y un número suficientemente largo como para observar la convergencia del valor calculado de \(4\cdot \frac{q}{N}\) al número irracional que conocemos como \(\pi\):

### ES TU TURNO
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### Resuelve aquí la propuesta anterior
### en una o varias celdas